Math Is Easy

Do you know what results from 19 x 18?
Ah-hah! We know your immediate impulse is to reach for that pocket calculator or that calculator function on your mobile phone. Tell you what, let’s just skip the shortcuts for now. Believe it or not, once you begin to know there are quick strategies for solving factors 1-20 in your head, you will know what we’re talking about.
So, to solve this quick, form a

19

x 18

___

on your head, like we did at grade school. Always remember the top number 19. Add that with the “ones” digit of the second factor, which is 8, so
19 + 8 = 27
Multiply the result by 10, or just add a zero to it (270).
Now, take the “ones” digits from both factors. In this case, “9″ from above and “8″ from below. Multiply these numbers, like so:
9 x 8 = 72
Finally, add the previous result which you multiplied by 10, and the latest product:
270 + 72 = 342
Voila! Your answer is 342. Want to check it out?
19
x 18
342

The advancement and perfection of Mathematics are intimately connected with the prosperity of the state.

- Napoleon Bonaparte

How Can This Be True?

Pernahkan kalian melihat teka-teki matematika yang seperti ini? Pada gambar tersebut, terlihat bahwa jika gambar yang atas susunannya dirubah menjadi gambar yang kedua maka akan muncul sebuah celah kosong  sebesar satu satuan luas.

Dari manakah asal celah tersebut? Bukankah dua segitiga tersebut berasal dari bagian-bagian puzzle yang sama, bagaimana hal tersebut bisa terjadi? Mari kita perhatikan darimana celah/lubang tersebut berasal.

Kalau diperhatikan dengan seksama, benarkah susunan potongan-porongan puzzle tersebut membentuk bangun segitiga? Untuk membentuk sebuah segitiga, haruslah memiliki tiga buah sisi berupa garis lurus. Mari perhatikan kembali sisi miring pada gambar segitiga yang atas. Kalian masih ingat dengan gradien/slope ataupun kemiringan? Bagaimanakah gradien segitiga kecil yang warna merah dan juga gradien segitiga yang berwarna hijau?

Gradien segitiga merah:

Gradien seigitga hijau:

Ternyata . Maka sisi miring pada gambar di atas bukanlah berupa garis lurus, tetapi ada sedikit pembiasan.

Lalu dari manakah celah tersebut berasal? Seperti yang sudah dibahas sebelumnya, karena gradiennya berbeda maka sisi miringnya bukanlah berupa garis lurus. Untuk lebih jelas, gambar di atas saya tuliskan kembali seperti gambar di bawah. Untuk gambar A dan gambar B merupakan bentuk awal segitiga seperti pada soal. Untuk menunjukkan bahwa kemiringannya berbeda, maka himpitkanlah gambar A dengan gambar B, sehingga menjadi gambar C. Perhatikan gambar C, ternyata sisi miringnya tidak berhimpit. Hal ini menunjukkan bahwa ada sedikit perbedaan gradien, walaupun hanya sedikit tetapi hal tersebut akan memberikan perbedaan yang lumayan mempengaruhi.

Pada gambar C terlihat ada perbedaan sisi miringnya, yang kalau diperbesar akan menjadi gambar D yang diarsir. Dari selisih kemiringan tadi akan memberikan selisih luas juga pada kedua bangun tersebut. Menjawab pertanyaan darimanakah lubang/celah tersebut berasal, ya dari selisih perbedaan kemiringan inilah yang menyebabkan adanya celah pada gambar kedua.


Sumber : http://dumatika.com/arsip

Jumlah n Bilangan Ganjil dan Genap

Bilangan Ganjil

sumber : http://dumatika.com/arsip

Jumlah 2 bilangan ganjil pertama: 1 + 3 = 4 –> 4 = 2 x 2 = 2²
Jumlah 3 bilangan ganjil pertama: 1 + 3 + 5 = 9 –> 9 = 3 x3 = 3²
Jumlah 4 bilangan ganjil pertama: 1 + 3 + 5 + 7 = 16 –> 16 = 4 x4 = 4²
Jumlah 5 bilangan ganjil pertama: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 –> 25 = 5 x 5 = 5²
Jumlah 6 bilangan ganjil pertama: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 –> 36 = 6 x6 = 6²
Bagaimana kalau ada 10 bilangan ganjil pertama? Ya benar, jumlah 10 bilangan ganjil pertama adalah 10 x 10 = 100
Bagaimana kalau ada 15 bilangan ganjil pertama? Ya benar, jumlah 15 bilangan ganjil pertama adalah 15 x 15 = 225
Jadi, kalau ada n bilangan ganjil pertama, jumlah n bilangan ganjil pertama tersebut adalah .

Bilangan Genap

Jumlah 2 bilangan genap pertama: 2 + 4 = 6 –> 6 = 2 x 3
Jumlah 3 bilangan genap pertama: 2 + 4 + 6 = 12 –> 12 = 3 x 4
Jumlah 4 bilangan genap pertama: 2 + 4 + 6 + 8 = 20 –> 20 = 4 x 5
Jumlah 5 bilangan genap pertama: 2 + 4 + 6  + 8 + 10 =30  –> 30 = 5 x 6
Jumlah 6 bilangan genap pertama: 2 + 4 + 6 + 8 + 10 +12 = 42 –> 12 = 6 x 7
Bagaimana kalau ada 10 bilangan genap pertama? Ya benar, jumlah 10 bilangan genap pertama adalah 10 x 11 = 110
Bagaimana kalau ada 15 bilangan genap pertama? Ya benar, jumlah 15 bilangan genap pertama adalah 15 x 16 = 240

Jadi, kalau ada n bilangan genap pertama, jumlah n bilangan genap pertama tersebut adalah