Teorema Dasar Aljabar

Pembuktian teorema dasar aljabar

• Diketahui:

            Persamaan suku banyak P(z) = a₀  + a₁z  + a₂z² + … + a_nzⁿ = 0,dimana derajat n ≥ 1 dan a_n ≠ 0

Akan dibuktikan:

Setiap persamaan suku banyak P(z) memiliki paling sedikit satu akar.

Bukti:

Jika P(z) = 0 tidak memilki akar,maka f(z) =  analitik untuk setiap z. Juga 1f(z) 1=      terbatas (dan dalam kenyataannya mendekati nol untuk 1z 1

Kemudian , menurut teorema liouville ini mengakibatkan bahwa f(z) dan juga P(z) haruslah suatu konstanta, dan ini bertentangan dengan derajat  n ≥ 1dan an ≠ 0. karena itu P(z) = 0 haruslah memiliki paling sedikit satu akar atau kadang-kadang dikatakan bahwa P(z) memiliki paling sedikit satu nilai nol.

• Diketahui

            Persamaan suku banyak P(z) = a₀  + a₁z  + a₁z² + … + a_nzⁿ = 0,dimana derajat n ≥ 1 dan a_n ≠ 0

Akan dibuktikan:

Setiap persamaan suku banyak P(z) memiliki tepat n akar.

Bukti

            Menurut teorema dasar aljabar, P(z) memiliki paling sedikit satu akar. Nyatakan akar ini dengan α, maka P(α) = 0. karena itu

                        P(z)- P(α) = a₀  + a₁z  + a₂z² + … + a_nzⁿ  - (a₀  + a₁α  + a₂α² + … + a_n αⁿ)

                                         = a₁(z – α) + a₂(z²- α²) + … + a_n(zⁿ - αⁿ )

                                         =(z – α) Q(z)

Dimana Q(z) adalah suatu suku banyak berderajat (n -1 ).

            Gunakan teorema dasar aljabar sekali lagi, kita melihat bahwa Q(z) memiliki paling sedikit satu akar, yang dapat kita nyatakan dengan β ( yang mungkin sama dengan α), sehingga P(z) = (z-α)(z-β)R(z). Lanjutkan cara ini dan kita sampai pada kesimpulan bahwa P(z) memilki tepat n akar.

Pembuktian teorema rata-rata gauss

Diketahui:

f(z) analitik didalam dan pada suatu lingkaran C yang berpusat di a.

akan dibuktikan:

rata-rata nilai f(z) pada C adalah f(a).

Bukti:

            Menurut rumus integral Cauchy,

                                                                        f(a) =

jika C berjari-jari r, maka persamaan C adalah 1z – a 1= r atau z = α + re^iθ . karena itu (l) menjadi

            f(a) =

dan ini adalah hasil yang diinginkan.

Pembuktian teorema modulus minimum

• Diketahui:

f(z) analitik didalam dan pada suatu kurva tertutup sederhana C.

akan dibuktikan:

            jika f(z) ≠ 0 maka1f(z)1harus mencapai nilai minimumnya pada C.

Bukti:

            Karena f(z) analitik didalam dan pada C, dan juga karena f(z) ≠ 0 maka ini mengakibatkan 1/f(z) analitik didalam C. menurut teorema modulus maksimum 1/1f(z)1tidak dapat mencapai nilai maksimumnya didalam C dan akibatnya tidak dapat mencapai nilai minimumnya didalam C. kemudian karena memiliki suatu minimum, maka minimum ini harus tercapai pada C.

·         Contoh untuk menunjukkan bahwa jika f(z) analitik didalam dan pada suatu kurva sederhana C dan f(z) = 0 pada suatu titik didalam C, maka tidak perlu mencapai nilai minimumnya pada C yaitu:

            F(z) = z untuk 1z 1 ≤ 1 sehingga C adalah suatu lingkaran dengan pusat dititik asal dan berjari-jari satu. Maka f(z)= 0 di z = 0. jika z = re^iθ, maka1f(z)1=   dan jelaslah bahwa nilai minimum  tidak tercapai pada C tetapi tercapai didalam C dimana r = 0 yaitu pada z = 0.